Question

（本小题满分12分）设A（x1,y1）,B(x2,y2)是函数f(x)=的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为.

求证：M点的纵坐标为定值；

若Sn=f(∈N*，且n≥2,求Sn;

已知an=，其中n∈N*.

Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜λ(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围.

 

Answer 1

（1）见解析；（2）Sn=；（3）（+∞）.

【解析】

试题分析：（1）依题意M是AB的中点，得x1+x2=1，而y=(y1+y2)= ［f(x1)+f(x2)］利用解析式可得y=,即纵坐标为定值；（2）由（1）知x1+x2=1,则f(x1)+f(x2)=1,而Sn=f(观察特点，利用倒序相加求和可得Sn=；（3）由（2）可得，利用裂项相消求和可得，代入Tn＜λ(Sn+1+1)转化为恒成立问题解决,从而得λ＞.

试题解析：（1）证明：∵ ∴M是AB的中点.设M点的坐标为（x,y）,

由（x1+x2）=x=,得x1+x2=1，则x1=1-x2或x2=1-x1.

而y=(y1+y2)= ［f(x1)+f(x2)］ =(+log2

=(1+log2 =(1+log2

=(1+log2

∴M点的纵坐标为定值.

（2）由（1）知x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,

Sn=f(

Sn=f(,

两式相加得：2Sn=［f()+［f()+…+［f()

= ∴Sn=(n≥2,n∈N*).

(3)当n≥2时,an=

Tn=a1+a2+a3+…+an=［() =(

由Tn＜λ(Sn+1+1)得＜λ· ∴λ＞

∵n+≥4,当且仅当n=2时等号成立,∴

因此λ＞，即λ的取值范围是（+∞）.

考点：函数和数列的综合问题