Question

已知椭圆过点，且离心率为.斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的面积．

 

Answer 1

(1) ; (2)

【解析】

试题分析：(1)根据题意可列方程组，进而可求解的值.

(2) 设直线l的方程为.联立直线与椭圆的方程可得：，①

利用，因此要先确定直线AB的方程和点P到直线AB的距离．设A、B的坐标分别为AB中点为E，则．

因为AB是等腰△的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率，解得m=2．

此时方程①为，解得，所以，所以|AB|=． 此时，点P（－3，2）到直线AB：的距离，所以S=.

（1）由已知得． （ 2分）

解得.又，所以椭圆G的方程为． （4分)

（2）设直线l的方程为.

由得． ① 6分

设A、B的坐标分别为AB中点为E，

则． （ 8分），

因为AB是等腰△的底边，

所以PE⊥AB.所以PE的斜率，解得m=2． （ 10分）

此时方程①为，解得，所以，所以|AB|=． 此时，点P（－3，2）到直线AB：的距离， 所以△的面积S=． （12分）

考点：椭圆方程、性质；直线与椭圆的位置关系，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，三角形面积公式.