题目内容
20．设数列{an}满足a1=1，an+1=Aan+$\frac{B}{{a}_{n}}$+C（n∈N*）（Ⅰ）若A=2，B=0，C=1，求证：{an+1}是等比数列，并求{an}通项公式；
（Ⅱ）若A=1，B=1，C=0
（i）求证：2≤an+12-an2≤3
（ii）求证：$\frac{3n-1}{3n-2}$≤$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≤$\frac{2n}{2n-1}$．
分析 （Ⅰ）通过在不等式an+1=2an+1两边同时加上1可构造首项、公比均为2的等比数列{an+1}，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过A=1，B=1，C=0可得an≥1．（i）将an+1=an+$\frac{1}{{a}_{n}}$两边同时平方，结合an≥1可得结论；（ii）通过分析可知问题即证2n-1≤an2≤3n-2，结合（i）结论，利用累加法计算即得结论．
解答 （Ⅰ）解：∵A=2，B=0，C=1，
∴an+1=2an+1，an+1+1=2（an+1），
又∵a1+1=2，
∴数列{an+1}是首项、公比均为2的等比数列，
∴an=-1+2n；
（Ⅱ）证明：∵A=1，B=1，C=0，
∴an+1=an+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
又∵a1=1，
∴an≥1．
（i）∵an+1=an+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴${{a}_{n+1}}^{2}$=${{a}_{n}}^{2}$+2+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，
又∵0＜$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$≤1，
∴2＜2+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$≤3，即2≤an+12-an2≤3；
（ii）要证：$\frac{3n-1}{3n-2}$≤$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≤$\frac{2n}{2n-1}$，
即证$\frac{1}{3n-2}$≤$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$≤$\frac{1}{2n-1}$，
即证2n-1≤an2≤3n-2，
又由（i）可知2≤an2-an-12≤3，2≤an-12-an-22≤3，…，2≤a22-a12≤3，
累加得：2（n-1）≤an2-a12≤3（n-1），
由a1=1可知2n-1≤an2≤3n-2，从而命题得证．
点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查分析法、累加法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
至少有5个零点，则实数
的取值范围是（ ）
B．
C.
D．
如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个图的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，则支柱A2P2=3.86m
如图：已知PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点D，若PB=4，PD=3，AD=5，则DC=$\frac{7}{5}$．| A． | $\frac{π}{4}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{π}{2}$ | D． | $\frac{2π}{3}$ |