Question

(满分12分)设函数。
（Ⅰ）若在定义域内存在，而使得不等式能成立，求实数的最小值；
（Ⅱ）若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围。

Answer 1

(Ⅰ)实数的最小值为。(Ⅱ)。

试题分析：(Ⅰ)要使得不等式能成立，只需。  
求导得：，        ………3分
∵函数的定义域为，
当时，，∴函数在区间上是减函数；
当时，，∴函数在区间(0，+∞)上是增函数。
∴，    ∴。故实数的最小值为。     ………6分
(Ⅱ)由得：

由题设可得：方程在区间上恰有两个相异实根………8分
设。∵，列表如下：

		－	0	＋
		减函数		增函数

 
∵，
∴。
从而有，                 ………10分
画出函数在区间上的草图

易知要使方程在区间上恰有两个相异实根，
只需：，即：。      ………12分
点评：利用导数研究函数单调性、确定函数最值、研究函数图象，是导数的基本应用。本题将“恒成立”问题转化成求函数最值问题，将函数零点问题，转化成研究函数单调性、求最值问题，凸显转化与化归数学的重要性。