Question

8．已知数列{a_n}的首项a₁=1，且a_n+1=2a_n+λ（n∈N⁺，λ∈R）．
（1）试问数列{a_n+λ}是否为等比数列？若是，请求出数列{a_n}的通项公式；若不是，请说明理由；
（2）当λ=1时，记b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+λ（n∈N⁺，λ∈R），变形为且a_n+1+λ=2（a_n+λ）；当a_n+λ≠0时，λ≠-1时，$\frac{{a}_{n+1}+λ}{{a}_{n}+λ}$=2（常数），利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）当λ=1时，a_n=2ⁿ-1．b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用“错位相减法”与等比数列的前n项公式即可得出．

解答 解：（1）由a_n+1=2a_n+λ（n∈N⁺，λ∈R），变形为且a_n+1+λ=2（a_n+λ），∵a₁=1，当a₁+λ=0时，解得λ=-1，此时数列{a_n+λ}不是等比数列；
当a_n+λ≠0时，λ≠-1时，$\frac{{a}_{n+1}+λ}{{a}_{n}+λ}$=2（常数），∴数列{a_n+λ}是等比数列，首项为1+λ，公比为2．∴a_n+λ=（1+λ）×2^n-1．
（2）当λ=1时，a_n=2ⁿ-1．
b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”与等比数列的前n项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．