Question

7．有一枚质地均匀的硬币，抛掷n（n∈N^*）次．
（1）当n=3，记正面向上的次数为ξ，求ξ的分布列及期望；
（2）当n=10，求正面不连续出现的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（2）当n=10时，基本事件总数为2¹⁰，求出正面不连续出现的基本事件的个数，由此利用等可能事件概率计算公式，能求出正面不连续出现的概率．

解答 解：（1）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（1-\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（1-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

Eξ=$0×\frac{1}{8}+1×\frac{3}{8}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{1}{8}$=$\frac{3}{2}$．
（2）当n=10时，正面不连续出现的概率为：
p=$\frac{（1+{C}_{10}^{1}）+{C}_{9}^{2}+{C}_{8}^{3}+{C}_{7}^{4}+{C}_{6}^{5}}{{2}^{10}}$
=$\frac{1+10+36+56+35+6}{1024}$
=$\frac{9}{461}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率的求法．