Question

19．已知曲线C：y（x+a+1）=ax+a²+1的图象关于点（2，-3）对称，求实数a的值．

Answer 1

分析 y=$\frac{ax+{a}^{2}+1}{x+a+1}$=a+$\frac{1-a}{x+a+1}$，曲线C是由曲线D：y=$\frac{1-a}{x}$向右平移-（a+1）个单位、向上平移a个单位得到的．
而曲线D的对称中心是（0，0），平移后的对称中心是（-[a+1]，a），即可求实数a的值．

解答 解：∵y（x+a+1）=ax+a²+1，
∴y=$\frac{ax+{a}^{2}+1}{x+a+1}$=a+$\frac{1-a}{x+a+1}$
曲线C是由曲线D：y=$\frac{1-a}{x}$向右平移-（a+1）个单位、向上平移a个单位得到的．
而曲线D的对称中心是（0，0），平移后的对称中心是（-[a+1]，a），
于是有：-（a+1）=2 a=-3，
∴a=-3．

点评 本题考查曲线与方程，考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．