Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）求函数在上的最值；

（Ⅱ）若对，总有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）①当时，满足条件的不存在；

②当即时，；

③当即时，

（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）解出导函数方程的根，讨论根与给定区间关系，分类讨论函数单调区间，从而求出函数最值.

（Ⅱ）对进行等价变换构造新函数，解决恒成立问题；分离参数，不等式恒成立问题转化为函数最值问题，构造函数，利用导数求最值可解.

（Ⅰ）因为；令得，.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

①当时，满足条件的不存在；

②当即时，；

③当即时，.

（Ⅱ）因为，

等价于，令，

因为，总有成立，所以，在上单调递增.问题化为对恒成立.

即对恒成立.

令，则.由得，.

当时，，递增，当时，，递减，

，故的取值范围是：.