题目内容
【题目】如图，已知
内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DBCE为平行四边形，F是CD的中点，
（1）证明：
平面ADE；
（2）若四边形DBCE为矩形，且四边形DBCE所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，
，AE与圆O所在的平面的线面角为60°.求二面角
的平面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）连结BE，证出
，再利用线面平行的判定定理即证.
（2）利用面面垂直的性质定理证出
平面ABC，以C点为原点，
为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系，求出平面AED的一个法向量与平面AEB的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.
（1）连结BE，∵DBCE平行四边形且F为CD中点
∴F为BE中点，又∵O为AB的中点∴
∵
平面ADE，
平面ADE
∴
平面ADE.
（2）∵矩形
平面ABC，平面
平面
，
，
平面DBCE，∴平面ABC
又∵AB为圆O的直径，∴
∴以C点为原点，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系
∵
，∴
，
由平面ABC得，
就是AE与平面ABC所成的角
由
得，
∴
，
，
，
∴
，
，
设平面AED的一个法向量
，
由
，
，得
，
，
即
，令
，则
，所以
同理可得，平面AEB的一个法向量
∴
∴二面角
的平面角的余弦值为.
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