Question

【题目】如图，在四面体中，.

（1）求证:平面平面；

（2）若，二面角为，求异面直线与所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

（1）取中点连接，得，可得，

可证，可得，进而平面，即可证明结论；

（2）设分别为边的中点，连，可得，，可得（或补角）是异面直线与所成的角，，可得，为二面角的平面角，即，设，求解，即可得出结论.

（1）证明:取中点连接，

由则

，则，

故，，

平面，又平面，

故平面平面

（2）解法一:设分别为边的中点，

则，

（或补角）是异面直线与所成的角.

设为边的中点，则，

由知.

又由（1）有平面，

平面，

所以为二面角的平面角，，

设则

在中，

从而

在中，，

又，

从而在中，因，

，

因此，异面直线与所成角的余弦值为.

解法二:过点作交于点

由（1）易知两两垂直，

以为原点，射线分别为轴，

轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系.

不妨设，由，

易知点的坐标分别为

则

显然向量是平面的法向量

已知二面角为，

设，则

设平面的法向量为，

则

令，则

由

由上式整理得，

解之得(舍)或

，

因此，异面直线与所成角的余弦值为.