Question

【题目】记表示，中的最大值，如．已知函数，．

（1）设，求函数在上零点的个数；

（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）个；（2）存在，.

【解析】

试题分析：（1）设，利用导数与单调性的关系求出，可得，则，结合图象可得零点的个数；（2）可将题意转化为对恒成立，分别求和成立即可.

试题解析：（1）设，，

令，得，递增；令，得，递减．

∴，∴，即，∴．

设，结合与在上图象可知，这两个函数的图象在上有两个交点，即在上零点的个数为．

（2）假设存在实数，使得对恒成立，

则对恒成立，

即对恒成立，

（i）设，，

令，得，递增；令，得，递减．

∴．

当，即时，，∴，

∵，∴．

故当时，对恒成立．

当，即时，在上递减，∴．

∵，∴

故当时，对恒成立．

（ii）若对恒成立，则，∴．

由（i）及（ii）得，．

故存在实数，使得对恒成立，

且的取值范围为．