Question

若实数a，b满足a²+b²≤1，则关于x的方程x²-2x+a+b=0有实数根的概率是

 

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Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，可得满足a²+b²≤1的点（a，b）在单位圆及其内部；若关于x的方程x²-2x+a+b=0有实数根，则点（a，b）满足a+b≤1，即在单位圆内且直线a+b=1的下方．由此结合几何概型计算公式，用图中黄色阴影部分的面积除以单位圆的面积，即可得到所求的概率．

解答： 解：以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，
∵实数a，b满足a²+b²≤1，
∴可得所有的点（a，b）在以O为圆心，半径为1的圆及其内部，即单位圆及其内部，如图所示，面积为S=π×1²=π
若关于x的方程x²-2x+a+b=0有实数根，则满足△=4-4（a+b）≥0，解之得a+b≤1
符合上式的点（a，b）在圆内且在直线a+b=1的下方，其面积为

3

4

π•12+

1

2

•1•1=

3

4

π+

1

2

，
∴关于x的方程x²-2x+a+b=0有实数根的概率是

3 4 π+ 1 2

π

=

3π+2

4π

．
故答案为：

3π+2

4π

．

点评：本题几何概型计算公式，考查了弓形面积计算公式、一元二次方程根的判别式，考查学生的计算能力，属于中档题．