Question

（1）求过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心C在直线x+y-2=0上的圆的标准方程．
（2）一条光线从点A（-2，3）射出，经x轴反射后，与圆（x-3）²+（y-2）²=1相切，求反射线经过所在的直线方程．

Answer 1

分析：（1）设圆心坐标为（a，2-a）且半径为r，利用圆的标准方程结合题意建立关于a、r的方程组，解之即可得到所求圆C的标准方程；
（2）设反射线与圆相切的切点为B，点Ax轴对称的点为A'（-2，-3），由题意可知反射线即为直线A'B．因此设直线A'B方程为y+3=k（x+2），利用点到直线的距离公式建立关于k的方程并解出k的值，即可得到所求反射线所在的直线方程．

解答：解：（1）∵圆心C在直线x+y-2=0上
∴设圆的方程为（x-a）²+（y-2+a）²=r²
∵圆C经过点A（1，-1）和B（-1，1），
∴

(1-a)2+(-1-2+a)2=r2 (-1-a)2+(1-2+a)2=r2

，解之得a=1，r=2
因此所求圆C的标准方程为（x-1）²+（y-1）²=4；
（2）点A（-2，3）关于x轴对称的点为A'（-2，-3），
设反射线与圆相切的切点为B，根据题意得反射线所在直线是A'B所在直线
设直线A'B方程为y+3=k（x+2），即kx-y+2k-3=0
可得圆心（3，2）到直线的距离d=

|5k-5|

k2+1

=r=1
解之得k=

4

3

或

3

4

，
由此可得直线A'B方程为4x-3y-1=0或3x-4y-6=0，即为所求反射线所在直线方程．

点评：本题求满足条件的直线与圆的方程．着重考查了圆的标准方程、直线的方程和直线与圆的位置关系等知识点，属于基础题．