Question

若f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的最小值及相应x的取值集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把f（x）化为一角一函数的形式，然后利用周期公式求解；
（Ⅱ）根据正弦函数的有界性可得f（x）的最小值，通过解简单的三角方程可得答案；

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
由T=

2π

2

=π，知函数f（x）的最小正周期是π．
（Ⅱ）当sin（2x+

π

6

）=-1时，f（x）取得最小值，
f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1(x∈R)的最小值为-2+1=-1，
此时相应的x的取值集合由2x+

π

6

=

3π

2

+2kπ(k∈Z)，得{x|x=

2π

3

+kπ，k∈Z}．

点评：本题考查二倍角的正弦、余弦，考查三角函数的周期及其求法，属中档题．