Question

已知函数f(x)=2

3

sinx-2cosx
（Ⅰ）若x∈[0，π]，求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）=0，求

2cos2 x 2 -sinx-1

2 sin(x+ π 4 )

的值．

Answer 1

分析：f（x）解析式提取4变形后，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（Ⅰ）根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可求出f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）根据f（x）=0求出tanx的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanx的值代入计算即可求出值．

解答：解：f（x）=4（

3

2

sinx-

1

2

cosx）=4sin（x-

π

6

），
（Ⅰ）∵x∈[0，π]，∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（x-

π

6

）≤1，即-2≤4sin（x-

π

6

）≤4，
则f（x）的最大值为4，最小值为-2；
（Ⅱ）∵f（x）=2

3

sinx-2cosx=0，即tanx=

3

3

，
∴原式=

cosx-sinx

sinx+cosx

=

1-tanx

1+tanx

=

1- 3 3

1+ 3 3

=2-

3

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的化简求值，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．