Question

已知函数f（x）=2

3

sinx•sin(

π

2

-x)-2cos(π+x)•cosx+2．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据诱导公式和二倍角公式、两角和的正弦公式对解析式化简，再由周期公式求f（x）的最小正周期；
（2）把条件代入f（x）的解析式化简，再由A的范围和正弦值求A，结合三角形面积公式条件和余弦定理求出边a．

解答：解：（1）f（x）=2

3

sinx•sin(

π

2

-x)-2cos(π+x)•cosx+2
=2

3

sinx•cosx+2cosx•cosx+2
=

3

sin2x+（1+cos2x）+2
=

3

sin2x+cos2x）+3
=2sin（2x+

π

6

）+3
∴T=

2π

2

=π．
（2）由f（A）=4得2sin（2A+

π

6

）+3=4，∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
又∵A为△ABC的内角，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，∴2A+

π

6

=

5π

6

，A=

π

3

．
由S_△ABC=

3

2

，得

1

2

bcsinA=

1

2

×1×c×

3

2

=

3

2

，c=2．
由余弦定理得a²=b2+c2-2bccosA=1+4-2×2×

1

2

=3，∴a=

3

．

点评：本题考查了三角恒等变换、正弦函数的性质的应用，以及余弦定理的综合应用，关键是正确对解析式进行化简，属于中档题．