Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，面面，为的中点.

（1）求证：；

（2）在线段上是否存在一点，使得面？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，证明见解析

【解析】

（1）可作中点，连接，通过底面梯形的性质可证四边形为正方形，求出边，，通过勾股定理可证，再结合面面，面面，可证面，得到，即可得证；

（2）可将问题转化，在底面找一点使得，即可求证；

（1）取中点，连接，

∵且，

∴且，

所以四边形为平行四边形，

又∵，，

所以四边形为正方形.

在中，因为，所以，

在中，因为，所以，

因为，所以，，

因为面，面面，面面，

所以面，

因为面，

所以.

（2）线段上存在一点，满足，

即为中点时，面，

证明如下：连结，∵为的中点，为中点，，

又∵，所以，

∵面，面，∴面.