Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）若有唯一零点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）时，函数在上单调递增； 时，函数在上单调递减；时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）见解析.

【解析】

（1）先求导，然后根据a的取值范围对符号的影响进行讨论，进而确定函数的单调性；

（2）通过求导，求得的根，函数在单调递减，单调递增，由有唯一零点知，. 联立求得满足的方程，利用导函数求出的范围，再由得出a的范围，从而命题得证.

解：（1）由题意，，

定义域为：

若，则恒成立，

故在上单调递增，

若，令，得，

①当，即时，，

则在上单调递增，

②当，即时，，

则在上单调递减，

③当，即时，

在上单调递增，在上单调递减，

综上所述，时，函数在上单调递增，

时，函数在上单调递减，

时，函数在上单调递增，在上单调递减；

（2）证明：由题意，，

，

令，解得是唯一的变号正根，

且①

当时，，单调递减，

时，，单调递增，

，

要使有唯一零点，只需，

即②

由①②可知，，

令，显然在上单调递增，

,

，

又

由①知，其在上单调递增，

即得证.