Question

8．设函数f（x）=x²-2ax+15-2a的两个零点分别为x₁，x₂，且在区间（x₁，x₂）上恰好有两个正整数，则实数a的取值范围（$\frac{31}{10}$，$\frac{19}{6}$]．

Answer 1

分析 由题意可得函数y=$\frac{{x}^{2}+15}{x+1}$的图象和直线y=2a有两个交点，这2个交点的横坐标分别为x₁，x₂，在区间（x₁，x₂）上恰有两个正整数．再令x+1=t，则m（t）=t+$\frac{16}{t}$的图象和直线y=2a+2有两个交点，这2个交点的横坐标分别为t₁，t₂，则在区间（t₁，t₂）上恰有两个正整数，求得a的范围．

解答 解：令f（x）=0，可得x² +15=2a（x+1），
即$\frac{{x}^{2}+15}{x+1}$=2a，
由题意可得方程$\frac{{x}^{2}+15}{x+1}$=2a 有2个解x₁，x₂，
且在区间（x₁，x₂）上恰有两个正整数，
故函数y=$\frac{{x}^{2}+15}{x+1}$的图象和直线y=2a有两个交点，
且这2个交点的横坐标分别为x₁，x₂．
再令x+1=t，则y=$\frac{{（t-1）}^{2}+15}{t}$=t+$\frac{16}{t}$-2，
即m（t）=t+$\frac{16}{t}$的图象和直线y=2a+2有两个交点，
且这2个交点的横坐标分别为t₁，t₂，
在区间（t₁，t₂）上恰有两个正整数，而这两个正整数应为4和5．
令t=5，则m（t）=$\frac{41}{5}$，令t=3，则m（t）=$\frac{25}{3}$，
∴$\frac{41}{5}$＜2a+2≤$\frac{25}{3}$，求得$\frac{31}{10}$＜a≤$\frac{19}{6}$，
故符合条件的a的范围是：{a|$\frac{31}{10}$＜a≤$\frac{19}{6}$}．
故答案为：（$\frac{31}{10}$，$\frac{19}{6}$]．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，函数的图象，函数零点的定义，属于中档题．