Question

（2010•唐山三模）过点（0，1）引x²+y²-4x+3=0的两条切线，这两条切线夹角的余弦值为（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  1

  3

• C．

  4

  5

• D．

  3

  5

Answer 1

分析：（法一）：设切线饿方程为kx-y+1=0，由切线的性质可得，圆心（2，0）到直线kx-y+1=0的距离d=1可求k，设两直线的夹角为α，代入夹角公式可先求tanα，然后结合同角基本关系可求cosα
（法二）：由A（0，1）在圆外可得过A（0，1做圆的切线可作两条AM，AN，圆心C（2，0），则AM⊥CM，AN⊥CN，∠CAM=∠CAN=β，由两点间的距离公式可求AC，CM=1，从而有AM²=AC²-CM²，进而可求cosβ=

AM

AC

，由二倍角的余弦公式cos2β=2cos²β-1可求

解答：解：（法一）设切线饿方程为y-1=kx即kx-y+1=0
由切线的性质可得，圆心（2，0）到直线kx-y+1=0的距离d=

|2k+1|

1+k2

=1
∴k=0或k=-

4

3

设两直线的夹角为α，则0≤α≤

1

2

π
由直线的夹角公式可得，tanα=

0+ 4 3

1-0×(- 4 3 )

=

4

3

∵1+tan²α=

1

cos2α

=

25

9

，cosα＞0
∴cosα=

3

5

（法二）：由A（0，1）在圆外可得过A（0，1做圆的切线可作两条AM，AN，圆心C（2，0），连接CM，CN，AC
则AM⊥CM，AN⊥CN，∠CAM=∠CAN=β，AC=

(0-2)2+(1-0) 2

=

5

，CM=1
在Rt△ACM中，AM²=AC²-CM²=2，cosβ=

AM

AC

=

2

5

=

2 5

5

∴cos2β=2cos²β-1=2×

4

5

-1=

3

5

故选：D

点评：本题主要考查了直线的夹角公式的应用，解法（一）中主要是利用直线与圆相切的性质求解出切线的斜率，解法（二）主要是利用了基本图形及二倍角的余弦．