Question

18．已知全集U=R，集合A={y|y=3-x²，x∈R}，集合B是函数 y=$\sqrt{x-2}$+$\frac{2}{{\sqrt{5-x}}}$的定义域，集合C={x|5-a＜x＜a}．
（1）求集合A、B
（2）求集合A∪（∁_UB）（结果用区间表示）；
（3）若C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，求解y=3-x²（x∈R）的值域，即可得集合A．求解函数 y=$\sqrt{x-2}$+$\frac{2}{{\sqrt{5-x}}}$的定义域即可得B集合．
（2）先（∁_UB）的集合，再求A∪（∁_UB）；
（3集合C={x|5-a＜x＜a}，C⊆（A∩B），求出A∩B，对C进行讨论，求实数a的取值范围．

解答 解：（1）集合A={y|y=3-x²，x∈R}，
那么：y=3-x²（x∈R）的值域为（-∞，3]；
所以：集合A={y|y≤3}．
函数 y=$\sqrt{x-2}$+$\frac{2}{{\sqrt{5-x}}}$的定义域满足：$\left\{\begin{array}{l}{x-2≥0}\\{5-x＞0}\end{array}\right.$，解得：2≤x＜5，
所以：集合B={x|2≤x＜5}．
（2）∵集合B={x|2≤x＜5}．
∴∁_UB={x|2＞x或x≥5}．
所以：A∪（∁_UB）=（-∞，3]∪[5，+∞）．
（3）C={x|5-a＜x＜a}，C⊆（A∩B），
∵A∩B={x|2≤x≤3}
当C=∅时，满足题意，则5-a≥a，解得：a$≤\frac{5}{2}$．
当C≠∅时，$\left\{\begin{array}{l}{5-a＜a}\\{5-a≥2}\\{a≤3}\end{array}\right.$，解得：$\frac{5}{2}＜a≤3$
综合所述：实数a的取值范围是（-∞，3]．

点评 本题主要考查集合的确定求法，集合的基本运算，比较基础．属于基础题．