题目内容

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求直线AB₁和平面ABC₁D₁所成的角；
（2）M为BC₁上一点且BM= $数学公式$ ，在AB₁上找一点N使得MN∥A₁C．

解：如图建立空间直角坐标系：设正方体棱长为1

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），B₁（1，1，1），A₁（1，0，1），C（0，1，0）
（1） $\text{[math]}$ =（0，1，1）， $\text{[math]}$ =（-1，0，1）， $\text{[math]}$ =（0，1，0）
设平面ABC₁D₁所的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z）
则 $\text{[math]}$ ．取 $\text{[math]}$ =（1，0，1）
cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
设直线AB₁和平面ABC₁D₁所成的角为θ
则sinθ= $\text{[math]}$ ，又θ∈[0， $\text{[math]}$ ]
∴θ= $\text{[math]}$
∴直线AB₁和平面ABC₁D₁所成的角为 $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$ =（-1，1，-1）， $\text{[math]}$ =（-1，0，1），
∵BM= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =（- $\text{[math]}$ ，0， $\text{[math]}$ ）
设 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ =λ（0，-1，-1）=（0，-λ，-λ）
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ，0，- $\text{[math]}$ ）+（0，0，1）+（0，-λ，-λ）=（ $\text{[math]}$ ，-λ， $\text{[math]}$ -λ）
∵MN∥A₁C．
∴（ $\text{[math]}$ ，-λ， $\text{[math]}$ -λ）=μ（-1，1，-1），∴ $\text{[math]}$
解得λ= $\text{[math]}$

∴当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 时，MN∥A₁C．
分析：先以D为原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，（1）先利用线面垂直的判定定理求平面ABC₁D₁的法向量，再求 $\text{[math]}$ 与此法向量的夹角的余弦值，其绝对值就是线面角的正弦值；
（2）设 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 用λ表示，要使MN∥A₁C，只需存在μ，使 $\text{[math]}$ =μ $\text{[math]}$ ，列方程组即可解得λ的值，从而确定N点位置
点评：本题主要考查了空间线面角的求法，空间线线平行的判定，空间直角坐标系与空间向量在解题中的应用，需要有较强的运算能力