Question

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在单位圆上，∠xOA=α，∠AOB=$\frac{π}{3}$，且α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）．
（1）若x₁=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，求x₂的值；
（2）过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S₁，△BOD的面积为S₂，设S₁-S₂=f（α），求函数f（α）的值域．

Answer 1

分析 （1）由三角函数定义，得x₁=cosα=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据x₂=cos（α+$\frac{π}{3}$），利用两角和的余弦公式求得结果．
（2）依题意得 y₁=sinα，y₂=sin（α+$\frac{π}{3}$），分别求得S₁ 和S₂ 的解析式，再由S₁-S₂=f（α），求函数f（α）的值域．

解答 解：（1）由三角函数定义，得x₁=cosα，x₂=cos（α+$\frac{π}{3}$）．
因为α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），cosα=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，所以sinα=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$
所以x₂=cos（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$cosα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=$\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{21}}{14}$．
（2）依题意得y₁=sinα，y₂=sin（α+$\frac{π}{3}$）．
所以S₁=$\frac{1}{2}$cosαsinα=$\frac{1}{4}$sin2α，S₂=$\frac{1}{2}$[-cos（α+$\frac{π}{3}$）]sin（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{4}$sin（2α+$\frac{2π}{3}$）．
依题意f（α）=S₁-S₂=$\frac{1}{4}$sin2α+$\frac{1}{4}$sin（2α+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{1}{4}$sin（2α+$\frac{π}{3}$）．
因为α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），
所以2α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{2π}{3}$，π），
所以sin（2α+$\frac{π}{3}$）∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
所以$\frac{1}{4}$sin（2α+$\frac{π}{3}$）∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{8}$），
所以函数f（α）的值域是（0，$\frac{\sqrt{3}}{8}$）．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．