Question

9．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=3-2t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ$+\frac{π}{4}$），则直线l与曲线C相交的弦长为$\frac{2\sqrt{30}}{5}$．

Answer 1

分析 将直线l和曲线C化为普通方程，进而根据直线被圆所截得的弦长公式，可得答案．

解答 解：∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+t，①\\ y=3-2t，②\end{array}\right.$（t为参数），
①×2+②后把直线l的参数方程化为普通方程得：2x+y=5，即2x+y-5=0，
∵曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ$+\frac{π}{4}$）=2sinθ+2cosθ，
∴ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，
把曲线C的极坐标方程化为普通方程得x²+y²=2x+2y，
即（x-1）²+（y-1）²=2，
圆心（1，1）到直线2x+y-5=0的距离为$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
则弦长为2$\sqrt{2-（\frac{2}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{30}}{5}$

点评 本题考查的知识点是直线的参数方程，圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，难度中档．