Question

3．设M=${∫}_{-1}^{1}$（x³-ax+b）²dx，求a，b为何值时，M最小．

Answer 1

分析 先把被积分函数展开再运用公式得出（$\frac{{x}^{7}}{7}$$-\frac{2a}{5}$x⁵$+\frac{b}{2}$x⁴$+\frac{{a}^{2}}{3}$x³-abx²+b²x）|${\;}_{-1}^{1}$，再化简得出2b²$+\frac{2}{3}$a²$-\frac{4}{5}$a$+\frac{2}{7}$，配方求解即可得出最小值的a，b数值的情况．

解答 解：∵M=${∫}_{-1}^{1}$（x³-ax+b）²dx
M=${∫}_{-1}^{1}$（x⁶-2ax⁴+2bx³+a²x²-2abx+b²）dx
=（$\frac{{x}^{7}}{7}$$-\frac{2a}{5}$x⁵$+\frac{b}{2}$x⁴$+\frac{{a}^{2}}{3}$x³-abx²+b²x）|${\;}_{-1}^{1}$=2b²$+\frac{2}{3}$a²$-\frac{4}{5}$a$+\frac{2}{7}$=2b²+$\frac{2}{3}$（a-$\frac{12}{5}$）²$-\frac{96}{25}$$+\frac{2}{7}$，
∴当a=$\frac{12}{5}$，b=0时M取最小．

点评 本题考查了复杂函数的积分问题，配方求解最小值，关键是仔细化简运算得出积分函数，利用平方关系式展开，难度较大．