Question

与圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线与x轴，y轴的正半轴交于A、B且|oA|＞2，|OB|＞2，则三角形AOB面积的最小值为

 

．

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准式方程后，找出圆心坐标和半径，设出A和B的坐标，利用A和B的坐标写出直线AB的方程，因为直线AB与圆相切，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，并让d等于半径r，列出关于a和b的关系式，然后设a-2等于m大于0，b-2等于n大于0，利用三角形的面积公式表示出三角形AOB的面积，利用基本不等式求出面积的最小值即可．

解答：解：将圆C的方程化为标准式方程得（x-1）²+（y-1）²=1，圆心C（1，1），半径r=1
设A（a，0），B（0，b），则直线AB的方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
圆心C（1，1）到直线AB的距离d=r=1即

|b+a-ab|

a2+b2

=1，两边平方得2ab-2ab（b+a）+a²b²=a²+b²，
∵ab≠0，∴2-2（b+a）+ab=0，∴（a-2）-b-2a+4=2，∴（a-2）（b-2）=2；
由|oA|＞2，|OB|＞2，可设a-2=m＞0，b-2=n＞0，且mn=2，
所以S_△AOB=

1

2

ab=

1

2

（m+2）（n+2）=

1

2

（mn+2m+2n+4）≥

1

2

（mn+2

4mn

+4）=3+2

2

，当且仅当m=n即a=b时取等号．
所以三角形AOB面积的最小值为3+2

2

故答案为：3+2

2

点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用基本不等式求函数的最值，是一道中档题．