Question

已知直线l：（m+2）x+（2m-3）y+（7-14m）=0与圆C：x²+y²-6x-8y+21=0
（1）求证：对于任意实数m，l与圆C恒有两个交点A，B
（2）当AB最小时，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）将直线l方程变形，根据题意求出x与y的值，确定出直线恒过点M坐标，将圆方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，求出|MN|的长，与半径比较大小即可得证；
（2）过圆内一点的所有弦中，以直径为最长，以垂直于直径的弦长最小，求出直线MC的斜率，找出直线AB的斜率，表示出直线l方程即可．

解答：解：（1）直线系l：（m+2）x+（2m-3）y+（7-14m）=0，可以化成（2x-3y+7）+m（x+2y-14）=0，
∵方程组2x-3y+7=0；x+2y-14=0有解x=4；y=5，
∴l中的每一条都经过点M（4，5），
圆C：（x-3）²+（y-4）²=4的圆心是N（3，4），半径是r=2，
∵|MN|²=（4-3）²+（5-4）²=2＜4=r²，
∴点M在圆C内，
则过M的每一条直线都与圆相交，并且交于不同的两点A，B；
（2）过圆内一点的所有弦中，以直径为最长，以垂直于直径的弦长最小，
此时k_MC=

5-4

4-3

=1，∴k_AB=-1，
∴直线l方程为y-5=-（x-4），即x+y-9=0，
则|AB|最小时，直线方程是x+y-9=0．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，圆的标准方程，两点间的距离公式，以及直线的点斜式方程，是一道综合性较强的试题．