Question

【题目】已知抛物线与过点的直线交于两点.

（1）若，求直线的方程；

（2）若，轴，垂足为，探究：以为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）过定点，

【解析】

（1）设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系及弦长公式计算即可；

（2）设以为直径的圆经过点，，，利用得，令解方程组即可.

（1）由题可知，直线的斜率不为0，设其方程为，

将代入，消去可得，

显然，设，，则，，

所以，

因为，所以，解得，

所以直线的方程为或.

（2）因为，所以是线段的中点，

设，则由（1）可得，，

所以，又轴，垂足为，所以，

设以为直径的圆经过点，则，，

所以，即，

化简可得①，

令，可得，

所以当，时，对任意的，①式恒成立，

所以以为直径的圆过定点，该定点的坐标为.