Question

设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)两点在抛物线y＝2x²上，l是AB的垂直平分线．

(1)当且仅当x₁＋x₂取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论．

(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：F∈l|FA|＝|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等， 　　∵抛物线准线y＝平行于x轴，y1≥0，y2≥0， 　　依题意y1、y2不同时为零， 　　∴上述条件等价于y1＝y2x12＝x22(x1＋x2)(x1－x2)＝0． 　　∵x1≠x2，∴上述条件等价于x1＋x2＝0，即当且仅当x1＋x2＝0时，l经过抛物线的焦点F． 　　(2)设l在y轴上的截距为b，则l的方程y＝2x＋b，过A、B两点的直线方程为． 　　由得＝0． 　　∴x1＋x2＝． 　　Δ＝＋8m＞0． 　　∴m＞．设AB中点N的坐标为(x0，y0)， 　　则x0＝(x1＋x2)＝，y0＝x0＋m＝＋m． 　　∵N点在l上， 　　∴＋m＝＋b． 　　于是b＝，即b＞． 　　故直线l在y轴上截距的取值范围是(，＋∞)．

提示：

本题考查直线、抛物线等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．注意判别式的作用和充要条件的证明，“当且仅当”即指充要条件．本题利用直线与抛物线的位置关系求解．