Question

设

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)，定义一种运算：

a

⊕

b

=（x₁x₂，y₁y₂）．已知

p

=(

8

π

，2)，

m

=(

1

2

，1)，

n

=(

π

4

，-

1

2

)．
（1）证明：（

p

⊕

m

）⊥

n

；
（2）点P（x₀，y₀）在函数g（x）=sinx的图象上运动，点Q（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动，且满足

OQ

=

m

⊕

OP

+

n

（其中O为坐标原点），求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）根据该运算的定义，先求出

p

⊕

m

，然后只需证明（

p

⊕

m

）•

n

=0即可；
（2）由

OQ

=

m

⊕

OP

+

n

可得x和x₀的方程组，消掉x₀可得f（x），利用余弦函数的单调性可求得答案；

解答：解：（1）

p

=(

8

π

，2)，

m

=(

1

2

，1)，依题意得

p

⊕

m

=(

4

π

，2)，
又

n

=(

π

4

，-

1

2

)，∴（

p

⊕

m

）•

n

=

4

π

×

π

4

+2×（-

1

2

）=0，
∴（

p

⊕

m

）⊥

n

；
（2）

OP

=(x0，sinx0)，

OQ

=(x，y)，由足

OQ

=

m

⊕

OP

+

n

，得
(x，y)=(

1

2

x0+

π

4

，sinx0-

1

2

)，即

x= 1 2 x 0+ π 4 y=sinx 0- 1 2

，
消去x₀，得y=sin(2x-

π

2

)-

1

2

=-cos2x-

1

2

，即f(x)=-cos2x-

1

2

，
令2kπ-π≤2x≤2kπ（k∈Z），得kπ-

π

2

≤x≤kπ(k∈Z)，
∴函数的单调递减区间是[kπ-

π

2

，kπ]（k∈Z）．

点评：本题考查三角恒等变换、复合函数的单调性，考查学生对问题的理解应用能力．