Question

【题目】已知函数,曲线在点处的切线与轴平行.函数.

（Ⅰ）求的值;

（Ⅱ）求证:函数共有两个零点,一个零点是,另一个零点在区间内;

（Ⅲ）求证:存在,当时, .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由题意可得，利用导函数研究函数的切线可知 ，则.

（Ⅱ）由题意可得，且, , ,据此可得存在两个零点,且一个零点为，第二个零点在区间内.

（Ⅲ）由题意可得，结合(Ⅱ)的结论可知函数在上单调递增，且，则函数在上单调递增，则存在,当时, .

试题解析：

（Ⅰ），

，解得.

（Ⅱ），令得到.

		极小值

, , ,所以存在两个零点,且一个零点为，

, , 所以第二个零点在区间内.

（Ⅲ）证明: ，

令可得

		极大值		极小值

而，函数在上单调递增，

所以当， 恒成立，

所以存在,当时, .