Question

【题目】已知斜率存在且不为0的直线过点，设直线与椭圆交于两点，椭圆的左顶点为.

（1）若的面积为，求直线的方程；

（2）若直线分别交直线于点，且，记直线的斜率分别为.探究：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）或. （2）是，定值为

【解析】

（1）设，，设直线，根据题意求出,由求出, 联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求出即可；

（2）设直线的方程为：与椭圆方程联立得到关于的一元二次方程，设，，利用韦达定理求出，利用点斜式求出直线的方程，进而求出点坐标，利用平面向量坐标表示求出的表达式，代入斜率公式求出直线的斜率即可求解.

（1）设，,

因为，椭圆的左顶点为，所以，

故，

故，

设直线，代入椭圆的方程中，整理得，

所以，，

故，

解得，，

故直线的方程为或.

（2）由题意得，设直线的方程为：，

与椭圆方程联立可得，

整理得，

设，，

则①，②，

又，所以直线的方程为，

令，解得，

同理可得，，设，

所以，

因为，所以，，

将①②代入上式并化简可得，

所以直线的斜率为，

故，为定值.