Question

【题目】设函数.

(Ⅰ) 求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ) 讨论函数的单调性；

(Ⅲ) 设,当时,若对任意的，存在，使得≥，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)由题意可得，据此确定切线的斜率，结合切点坐标确定切线方程即可；

(Ⅱ)由可得，据此分类讨论确定函数的单调性即可；

(Ⅲ)由题意可得，则原问题等价于，据此求解实数b的取值范围即可.

(Ⅰ)，

因为,且，

所以曲线在点处的切线方程为：.

(Ⅱ)令，所以，

当时,，

此时在上单调递减,在上单调递增；

当时,，

此时在上单调递增,在上单调递减.

(Ⅲ)当时,在上单调递减,在上单调递增，

所以对任意,有，

又已知存在，

使,所以，

即存在,使，

即，

即因为当，

所以,即实数取值范围是.

所以实数的取值范围是.