Question

15．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=$\frac{1}{2}$AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．

（Ⅰ）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；
（Ⅱ）求三棱锥C-ABC的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD的中点F，连结EF，BF，由三角形中位定理得AD∥EF，由此能证明AD∥平面EFB．
（Ⅱ）设点C到平面ABD的距离为h，由V_B-ACD=V_C-ABD，利用等积法能求出点C到平面ABD的距离．

解答 解：（Ⅰ）取CD的中点F，连结EF，BF，
在△ACD中，∵E，F分别为AC，DC的中点，
∴EF为△ACD的中位线，
∴AD∥EF，…2分
EF⊆平面EFB，AD?平面EFB，
∴AD∥平面EFB． …4分
（Ⅱ）设点C到平面ABD的距离为h，
∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC，
∴BC⊥平面ADC，
∴BC⊥AD，而AD⊥DC，
∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD．…8分
∴S_△ADB=2$\sqrt{3}$，∴三棱锥B-ACD的高BC=2$\sqrt{2}$，S_△ACD=2，
∴$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}h$=$\frac{1}{3}×2×2\sqrt{2}$
解得：h=2．∴点C到平面ABD的距离为2．…12分．

点评 本题考查使得线面平行的点的求法，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要注意等积法的合理运用．