Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$过双曲线$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{4}$=1的右顶点且离心率为$\frac{3}{5}$．
（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为$\frac{4}{5}$的直线被C所截线段的中点坐标．

Answer 1

分析 （1）求出椭圆的几何量，即可求C的方程；
（2）求出直线方程$y=\frac{4}{5}（{x-3}）$，代入C的方程，求出A，B坐标，即可确定结论．

解答 解：（1）由题意，a=5，c=3，b=4，
∴C的方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$
（2）过点（3，0）且斜率为$\frac{4}{5}$的直线方程为$y=\frac{4}{5}（{x-3}）$，
设直线与C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程$y=\frac{4}{5}（{x-3}）$代入C的方程，得$\frac{x^2}{25}+\frac{{{{（{x-3}）}^2}}}{25}=1$，
即x²-3x-8=0，解得${x_1}=\frac{{3-\sqrt{41}}}{2}$，${x_2}=\frac{{3+\sqrt{41}}}{2}$，
∴AB的中点坐标$\overline x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{3}{2}$，$\overline y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{2}{5}（{{x_1}+{x_2}-6}）=-\frac{6}{5}$，
即中点为$（{\frac{3}{2}，-\frac{6}{5}}）$．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．