Question

已知函数f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

-

1

2

．
（Ⅰ）若f（α）=

2

4

，α∈（0，π），求α的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-

π

4

，π]上最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数，化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用f(a)=

2

4

，a∈(0，π)求出α的值．
（2）通过[-

π

4

，π]，求出0≤α+

π

4

≤

5π

4

，即可求出函数的最大值，最小值．

解答：解：（1）函数f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

-

1

2

=

1

2

sinx+

1+cosx

2

-

1

2

=

2

2

sin（x+

π

4

），
由题意知

2

2

sin（α+

π

4

）=

2

4

，
即sin（α+

π

4

）=

1

2

∵a∈（0，π）即α+

π

4

∈(

π

4

，

5π

4

)∴α=

7π

12

（2）∵-

π

4

≤a≤n????
即0≤α+

π

4

≤

5π

4

    f(x)max=f(

π

4

) =

2

2

，f(x)min=f(π) =-

1

2

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，以及三角函数的闭区间上的最值．考查计算能力．