Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0＞的左右焦点分别为F₁，F₂，圆O以原点为圆心，b为半径，过F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点，并与圆O相切于A，若$\overrightarrow{AN}$=2$\overrightarrow{MA}$，求椭圆的离心率．

Answer 1

分析 如图所示，设直线l的方程为：y=k（x-c）．利用直线与圆相切性质可得：k²=$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}-{b}^{2}}$．把直线l的方程代入椭圆方程可得：（b²+a²k²）x²-2ca²k²x+a²c²k²-a²b²=0，整理可得：2c²x²-2ca²x+a²b²=0，设A（x_A，y_A），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）．OA所在直线方程为：y=-$\frac{1}{k}$x，与直线l联立可得：x_A=$\frac{c{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{c}$．由于$\overrightarrow{AN}$=2$\overrightarrow{MA}$，可得3x_A=x_N+2x_M=$\frac{3}{2}（{x}_{N}+{x}_{M}）$-$\frac{1}{2}（{x}_{N}-{x}_{M}）$，化简整理即可得出．

解答 解：如图所示，
设直线l的方程为：y=k（x-c）．
∵直线l与圆相切可得：$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=b，化为k²=$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}-{b}^{2}}$ ①．
把直线l的方程代入椭圆方程可得：（b²+a²k²）x²-2ca²k²x+a²c²k²-a²b²=0，
把①代入上式整理可得：2c²x²-2ca²x+a²b²=0，
设A（x_A，y_A），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）．
OA所在直线方程为：y=-$\frac{1}{k}$x，与直线l联立可得：x_A=$\frac{c{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{c}$．
∵$\overrightarrow{AN}$=2$\overrightarrow{MA}$，∴3x_A=x_N+2x_M=$\frac{3}{2}（{x}_{N}+{x}_{M}）$-$\frac{1}{2}（{x}_{N}-{x}_{M}）$，由图可知：x_N＞x_M．

∴$\frac{3{b}^{2}}{c}$=$\frac{3}{2}$$•\frac{{a}^{2}}{c}$-$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}-\frac{2{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}}$，整理可得：6c²-3a²=$\sqrt{2{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{4}}$，化为$6{e}^{2}-3=\sqrt{2{e}^{2}-1}$，解得$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，或$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交题、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．