Question

【题目】已知函数，其中.

（1）求函数的单调区间；

（2）讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）求导，让导函数为零，解出方程，根据根之间的大小关系，进行分类讨论，求出函数的单调区间；

（2）（）由（1）知，当时，单调递增，可以判断有一个零点；

（）当或时，,结合（1）中的结论，对作如下分类，利用单调性，判断零点的个数.

① 当时，可以判断有二个零点；

② 当时，可以判断有一个零点；

③ 当时，∴当时，可以判断有1个零点；

当时，可以判断有2个零点；

当时，可以判断有3个零点；

解：（1），

令得，，

①当，即时，恒成立，∴在上增；

②当，即时，令，得或，

令，得，

∴在上增，在上减，在上增；

③当即时，令，得或，

令，得，

∴在上增，在上减，在上增；

综上，当时，函数的减区间为，增区间为；

当时，的单调增区间为；

当时，的单调增区间为，，单调减区间为；

当时，的单调增区间为，，单调减区间为.

（2）（方法一）（）由（1）知，当时，单调递增，又，故1个零点；

（）当或时，，

① 当时，在上增，在上减，在上增，

∵，，，此时2个零点；

② 当时，在上增，在上减，在上增；

，又，此时1个零点；

③ 当时，在上增，在上减，在上增；

，，

，

∵，

∴当时，，有1个零点；

当时，，有2个零点；

当时，，有3个零点；

综上所述：当时，有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点.