Question

【题目】已知两定点，，点P是平面内的动点，且，记动点P的轨迹W.

（1）求动点P的轨迹W的方程；

（2）过点作两条相垂直的直线分别交轨迹于G，H，M，N四点.设四边形GMHN面积为S，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设点，由，逐步化简可得，

，即可得到本题答案；

（2）分直线斜率不存在和不存在两种情况考虑，当直线斜率存在时，因为，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理，将用k表示出来，逐步化简，即可得到本题答案.

解：（1）设，则，

则，

由于，即，设，，则，则P点的轨迹是以，为焦点且长轴长为4的椭圆，

所以，动点P的轨迹W的方程为：；

（2）当、其中一条直线斜率不存在时，另一条斜率为零，不妨设斜率不存在，则，，故；

当、两直线斜率都存在时，则设、的斜率分别为k、，则：，

设的方程为：，由得：，

易知恒成立，设，，则，，

故：，

同理得：，

由题：四边形GMHN面积，故：

令，则

故：，则的取值范围为