题目内容
如图，平行四边形ABCD和矩形ADEF，平面ABCD⊥平面ADEF，AD=2AB，P为BC的中点，M在AF上且AM=2MF，DP交AC与N点．（1）求证：MN∥平面BCEF；
（2）若四边形ABCD为矩形，且AF=AB，求DM与平面MAP所成角的正弦值．
考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）连结CF，由已知得MN∥∥CF，由此能证明MN∥平面BCEF．
（2）取AD的中点为O，取EF的中点为Q，以OP，OA，OQ为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DM与平面MAP所成角的正弦值．
（2）取AD的中点为O，取EF的中点为Q，以OP，OA，OQ为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DM与平面MAP所成角的正弦值．
解答：
解：（1）证明：连结CF，
∵PC∥AD，
∴
=
=
，
∴
=
，
∴MN∥CF，
又MN?平面BCEF，
∴MN∥平面BCEF．
（2）解：由题意，取AD的中点为O，取EF的中点为Q，
以OP，OA，OQ为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB=3，AM=2，则A（0，3，0），
M（0，3，2），P（3，0，0），D（0，-3，0），
=(0，0，-2)，
=(3，-3，-2)，
=（0，6，2），
设平面MAP的法向量
=（x，y，z），
则
，
取x=1，得
=（1，1，0），
设DM与平面MAP所成角为θ，
则sinθ=|cos＜
，
＞|=|
|=
，
∴DM与平面MAP所成角的正弦值为
．
解：（1）证明：连结CF，∵PC∥AD，
∴
| CN |
| NA |
| PC |
| AD |
| 1 |
| 2 |
∴
| FM |
| MA |
| CN |
| NA |
∴MN∥CF，
又MN?平面BCEF，
∴MN∥平面BCEF．
（2）解：由题意，取AD的中点为O，取EF的中点为Q，
以OP，OA，OQ为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB=3，AM=2，则A（0，3，0），
M（0，3，2），P（3，0，0），D（0，-3，0），
| MA |
| MP |
| DM |
设平面MAP的法向量
| n |
则
|
取x=1，得
| n |
设DM与平面MAP所成角为θ，
则sinθ=|cos＜
| DM |
| n |
| 6 | ||||
|
3
| ||
| 10 |
∴DM与平面MAP所成角的正弦值为
3
| ||
| 10 |
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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