Question

5．已知a＞0，b＞0，则$\frac{（a+b）^2+a^2b^2+1}{ab}$的最小值为6．

Answer 1

分析 变形可得$\frac{（a+b）^2+a^2b^2+1}{ab}$≥$\frac{4ab+{a}^{2}{b}^{2}+1}{ab}$=4+ab+$\frac{1}{ab}$≥4+2$\sqrt{ab•\frac{1}{ab}}$，解出两次等号成立的条件即可．

解答 解：∵a＞0，b＞0，∴$\frac{（a+b）^2+a^2b^2+1}{ab}$
=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2ab+{a}^{2}{b}^{2}+1}{ab}$≥$\frac{4ab+{a}^{2}{b}^{2}+1}{ab}$
=4+ab+$\frac{1}{ab}$≥4+2$\sqrt{ab•\frac{1}{ab}}$=6
当且仅当a=b且ab=$\frac{1}{ab}$即a=b=1时取等号，
故答案为：6．

点评 本题考查基本不等式求最值，注意两次等号同时成立是解决问题的关键，属基础题．