Question

13．求椭圆在点（asinθ，bcosθ ）处的切线方程．

Answer 1

分析 不妨设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），当θ=$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$时，椭圆的切线方程为：x=±a．当θ≠$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$时，设切线方程为y-bcosθ=k（x-asinθ），
把y=bcosθ+k（x-asinθ）代入椭圆方程可得：（b²+a²k²）x²+2a²k（bcosθ-aksinθ）x+a²（bcosθ-aksinθ）²-a²b²=0，利用△=0，解出k即可得出．

解答 解：不妨设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
当θ=$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$时，椭圆的切线方程为：x=±a．
当θ≠$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$时，设切线方程为y-bcosθ=k（x-asinθ），
把y=bcosθ+k（x-asinθ）代入椭圆方程可得：（b²+a²k²）x²+2a²k（bcosθ-aksinθ）x+a²（bcosθ-aksinθ）²-a²b²=0，
∵△=4a⁴k²（bcosθ-aksinθ）²-4（b²+a²k²）[a²（bcosθ-aksinθ）²-a²b²]=0，
化为k=$\frac{b（cosθ±1）}{asinθ}$
∴切线方程为y-bcosθ=$\frac{b（cosθ±1）}{asinθ}$（x-asinθ）．
综上可得：椭圆的切线方程为：x=±a或y-bcosθ=$\frac{b（cosθ±1）}{asinθ}$（x-asinθ）．

点评 本题考查了椭圆的切线方程求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．