Question

.已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点P是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AP，BP与直线分别交于M，N两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求线段MN的长度的最小值；
(3)当线段MN的长度最小时，Q点在椭圆上运动，记△BPQ的面积为S，当S在上变化时，讨论S的大小与Q点的个数之间的关系.

Answer 1

解：
(1)由已知得椭圆C的左顶点为，上顶点为D(0，2)，∴，故椭圆C的方程为.                                    
(2)直线的斜率显然存在，且，故可设直线AP的方程为，从而
，设，则，∴直线的方程为：，得
∴
当且仅当即时等号成立
∴时，线段MN的长度取最小值3.               
(3)由(2)知，当线段MN的长度取最小值时，，此时直线BP的方程为
设与BP平行的直线
联立得
由△＝得
当时，BP与的距离为，此时S_△BPQ＝
当时，BP与的距离为，此时S_△BPQ＝
∴当时，这样的Q点有4个
当时，这样的Q点有3个
当时，这样的Q点有2个
当时，这样的Q点有1个
当时，这样的Q点不存在.

略