Question

已知定义域为R的函数f （x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f （x）cosy，且f（0）=0，f（）=1．给出下列结论：
①f（）=
②f（x）为奇函数  
③f（x）为周期函数  
④f（x）在（0，π）内为单调函数
其中正确的结论是    ．（ 填上所有正确结论的序号）．

Answer 1

【答案】分析：通过给题中恒成立的等式赋值，对于①给x，y都赋值判断出错；对于②给x赋值0判断出对；对于判断出对；对于④通过举反例判断出错．
解答：解：对于①令得所以，故①错
对于②令x=0得f（y）+f（-y）=2f（0）cosy即f（y）+f（-y）=0，故f（x）为奇函数，故②对
对于③，令y=得f（x+）+f（x-）=0，所以∴∴∴f（x）的周期为2π，故③对
对于④，由②③知，例如f（x）=sinx，满足但在（0，π）不单调，故④错
故答案为：②③
点评：本题考查通过给恒等式中的未知数赋定值求函数值、求函数的性质．