Question

设实数，整数，.
（1）证明：当且时，；
（2）数列满足，，证明：.

Answer 1

（1）证明：当且时，；（2）.

试题分析：（1）证明原不等式成立，可以用数学归纳法，当时，当，由成立.得出当时，
，综合以上当且时，对一切整数，不等式均成立.（2）可以有两种方法证明：第一种方法，先用数学归纳法证明.其中要利用到当时，.当得.由（1）中的结论得.因此，即.所以时，不等式也成立.综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.再证由可得，即.第二种方法，构造函数设，则，并且
.由此可得，在上单调递增，因而，当时，.再利用数学归纳法证明.
（1）证明：用数学归纳法证明
①当时，，原不等式成立.
②假设时，不等式成立.
当时，
所以时，原不等式也成立.
综合①②可得，当且时，对一切整数，不等式均成立.
证法1：先用数学归纳法证明.
①当时，由题设知成立.②假设时，不等式成立.
由易知.
当时，.
当得.
由（1）中的结论得.
因此，即.所以时，不等式也成立.
综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.
再由可得，即.
综上所述，.
证法2：设，则，并且
.
由此可得，在上单调递增，因而，当时，.
①当时，由，即可知
，并且，从而.
故当时，不等式成立.
②假设时，不等式成立，则当时，，即有.
所以当时，原不等式也成立.
综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.