题目内容

设虚数z满足|2z+15|=
3
|
.
z
+10|．
（1）计算|z|的值；
（2）是否存在实数a，使
z
a
+
a
z
∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
分析：（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0）则
.
z
=a-bi代入条件|2z+15|=
3
|
.
z
+10|然后根据复数的运算法则和模的概念将上式化简可得
a2+b2
=5
3
即求出了|z|的值
（2）对于此种题型可假设存在实数a使
z
a
+
a
z
∈R根据复数的运算法则设（z=c+bi（c，b∈R且b≠0））可得
z
a
+
a
z
=
c
a
+
ac
c2+ b2
+（
b
a
-
ab
c2+b2
）∈R即
b
a
-
ab
c2+b2
=0再结合b≠0和（1）的结论即可求解．
解答：解：（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0）则
.
z
=a-bi
∵|2z+15|=
3
|
.
z
+10|
∴|（2a+15）+2bi|=
3
|（a+10）-bi|
∴
(2a+15)2+(2b)2
=
3
(a+10)2+(-b)2

∴a2+b2=75
∴
a2+b2
=5
3

∴|z|=5
3

（2）设z=c+bi（c，b∈R且b≠0）假设存在实数a使
z
a
+
a
z
∈R
则有
z
a
+
a
z
=
c
a
+
ac
c2+ b2
+（
b
a
-
ab
c2+b2
）∈R
∴
b
a
-
ab
c2+b2
=0
∵b≠0
∴a=
+
.
c2+b2

由（1）知
c2+b2
=5
3

∴a=±5
3
点评：本题主要考查了求解复数的模．解题的关键是要熟记复数模的概念：z=a+bi（a，b∈R）则|z|=
a2+b2
!
练习册系列答案
相关题目
设虚数z满足|2z+3|=
3
|
.
z
+2|．
（1）求证：|z|为定值．
（2）是否存在实数k，使
z
k
+
k
z
为实数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
设虚数z满足|2z+3|=
3
|
.
z
+2|．
（1）求证：|z|为定值．
（2）是否存在实数k，使
z
k
+
k
z
为实数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
设虚数z满足|2z+15|=
3
|
.
z
+10|．
（1）计算|z|的值；
（2）是否存在实数a，使
z
a
+
a
z
∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
设虚数z满足|2z+15|=|+10|．
（1）计算|z|的值；
（2）是否存在实数a，使∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

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