题目内容
设虚数z满足|2z+3|=
|
+2|．
（1）求证：|z|为定值．
（2）是否存在实数k，使
+
为实数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
| 3 |
| . |
| z |
（1）求证：|z|为定值．
（2）是否存在实数k，使
| z |
| k |
| k |
| z |
（1）依题意，设z=x+yi（x，y∈R，y≠0）…2′
代入|2z+3|=
|
+2|得|（2x+3）+2yi|=
|（x+2）-yi|，
整理得：x2+y2=3，即|z|=
…6′
（2）设存在实数k，使得
+
为实数，
则
+
=
+
=
+
=
+
=（
+
）+（
-
）i∈R，
∴
-
=0，
∵y≠0，
∴k=±
．
故存在实数k且k=±
，使
+
为实数…12′
代入|2z+3|=
| 3 |
| . |
| z |
| 3 |
整理得：x2+y2=3，即|z|=
| 3 |
（2）设存在实数k，使得
| z |
| k |
| k |
| z |
则
| z |
| k |
| k |
| z |
| x+yi |
| k |
| k |
| x+yi |
=
| x+yi |
| k |
| k(x-yi) |
| (x+yi)(x-yi) |
=
| x+yi |
| k |
| k(x-yi) |
| 3 |
=（
| x |
| k |
| kx |
| 3 |
| y |
| k |
| ky |
| 3 |
∴
| y |
| k |
| ky |
| 3 |
∵y≠0，
∴k=±
| 3 |
故存在实数k且k=±
| 3 |
| z |
| k |
| k |
| z |
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|
+10|．
∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．