Question

设虚数z满足|2z+3|=

3

|

.

z

+2|．
（1）求证：|z|为定值．
（2）是否存在实数k，使

z

k

+

k

z

为实数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设z=x+yi（x，y∈R，y≠0），代入已知条件，可得|z|=

3

；
（2）设存在实数k，使得

z

k

+

k

z

为实数，利用复数的模的性质将

z

k

+

k

z

化为：（

x

k

+

kx

3

）+（

y

k

-

ky

3

）i∈R，从而得到

y

k

-

ky

3

=0，继而可求得k的值．

解答：（1）依题意，设z=x+yi（x，y∈R，y≠0）…2′
代入|2z+3|=

3

|

.

z

+2|得|（2x+3）+2yi|=

3

|（x+2）-yi|，
整理得：x²+y²=3，即|z|=

3

…6′
（2）设存在实数k，使得

z

k

+

k

z

为实数，
则

z

k

+

k

z

=

x+yi

k

+

k

x+yi

=

x+yi

k

+

k(x-yi)

(x+yi)(x-yi)

=

x+yi

k

+

k(x-yi)

3

=（

x

k

+

kx

3

）+（

y

k

-

ky

3

）i∈R，
∴

y

k

-

ky

3

=0，
∵y≠0，
∴k=±

3

．
故存在实数k且k=±

3

，使

z

k

+

k

z

为实数…12′

点评：本题考查复数代数形式的混合运算，设z=x+yi（x，y∈R，y≠0）代入条件关系式是突破口，着重考查复数模的性质，属于中档题．