题目内容

（理）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的中心在原点，它的一个焦点坐标为 $数学公式$ ， $数学公式$ 、 $数学公式$ 分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线C上的点P，其中 $数学公式$ （m，n∈R），则m，n满足的一个等式是________．

4mn=1
分析：根据 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是渐进线方向向量，进而可知双曲线渐近线方程，根据一个焦点坐标 $\text{[math]}$ ，进而求得a和b，求得双曲线方程，进而根据 $\text{[math]}$ ，P在双曲线上，化简即可．
解答：因为c= $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是渐进线方向向量，
所以双曲线渐近线方程为y= $\text{[math]}$ ，
又c= $\text{[math]}$ ，a=2，b=1双曲线方程为 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ =（2m+2n，m-n），
点P是双曲线C上的点，
所以 $\text{[math]}$ ，化简得4mn=1．
故答案为：4mn=1．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了向量的综合应用，学生分析问题和解决问题的能力．

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x(x≥0)，如果椭圆C₁：

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，求椭圆C₂的方程；
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，伸缩比λ=2，求C₁关于原点“伸缩变换”后所得曲线C₂的方程；
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