题目内容

（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C2的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．
（1）已知曲线C1的方程为，伸缩比λ=2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；
（2）射线l的方程，如果椭圆C1：经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且，求椭圆C2的方程；
（3）对抛物线C1：y2=2p1x，作变换（x，y）→（λ1x，λ1y），得抛物线C2：y2=2p2x；对C2作变换（x，y）→（λ2x，λ2y）得抛物线C3：y2=2p3x，如此进行下去，对抛物线Cn：y2=2pnx作变换（x，y）→（λnx，λny），得抛物线Cn+1：y2=2pn+1x，…．若，求数列{pn}的通项公式pn．
【答案】分析：（1）由“伸缩变换”的伸缩比得，从而即得曲线C2的方程；
（2）根据C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），得到C2分别解方程组得点A，B两点的坐标，最后利用两点的距离公式得到关于λ的方程求出λ的值，即可写出椭圆C2的方程；
（3）先对Cn：y2=2pnx作变换（x，y）→（λnx，λny）得抛物线Cn+1：（λny）2=2pnλnx，结合y2=2pn+1x得到：，从而求得数列{pn}的通项公式pn．
解答：解（1）由条件得，得C2：；（4分）
（2）∵C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），得到C2，（5分）
解方程组得点A的坐标为；（7分）
解方程组得点B的坐标为；（8分）
==，化简后得3λ2-8λ+4=0，解得，因此椭圆C2的方程为或．（12分）（漏写一个方程扣2分）
（3）（理）对Cn：y2=2pnx作变换（x，y）→（λnx，λny）得抛物线Cn+1：（λny）2=2pnλnx，得，
又∵y2=2pn+1x，∴，即，（14分）
=2•22•23•…•2n-1，则，（16分）
（或解：）p1=1，
∴．（18分）
点评：本小题主要考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线简单性质、数列与解析几何的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
练习册系列答案
相关题目

（09年西城区抽样理）（14分）

   已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点在映射f下的象为点，记作.

设，,. 如果存在一个圆，使所有的点都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点的一个收敛圆. 特别地，当时，则称点为映射f下的不动点.

    (Ⅰ) 若点在映射f下的象为点.

  1 求映射f下不动点的坐标；

  2 若的坐标为(1,2)，判断点是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由.

(Ⅱ) 若点在映射f下的象为点,(2,3). 求证：点存在一个半径为的收敛圆.

（08年龙岩一中冲刺理）（14分）

在直角坐标平面xoy上的一列点简记为，若由构成的数列满足其中是y轴正方向相同的单位向量，则为T点列．

（1）判断是否为T点列，并说明理由；

（2）若为T点列，且点在的右上方，任取其中连续三点，判定的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；

（3）若为T点列，正整数满足.求证：

 

 

（08年台州市模拟理）  在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，，平面内两点同时满足下列条件：

①；②；③∥

（1）求的顶点的轨迹方程；

（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围

（08年聊城市四模理） （14分）  在直角坐标平面上有一点列位于直线上，且Pn的横坐标构成以为首项，－1为公差的等差数列{xn}.

   （1）求点Pn的坐标；

   （2）设抛物线列C1，C2，…，Cn，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线Cn的顶点为Pn，且经过点Dn（0，n2+1）. 记与抛物线Cn相切于点Dn的直线的斜率为kn，求证：；

   （3）设，等差数列{an}的任意一项，其中a1是S∩T中的最大数，且－256<a10­<－125，求数列{an}通项公式.

（06年福建卷理）对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：              给出下列三个命题：

       ①若点C在线段AB上，则

       ②在中，若则

       ③在中，

       其中真命题的个数为

       （A）0　　　　（B）1　　　　（C）2　　　　（D）3

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网